第487章 NS的第二次尝试 一（2/2）

他要动用兼具几何直观与分析深度的工具——微分拓扑。

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微分拓扑是一个极其强大的工具。它研究的是光滑流形上的结构，能够从最深层的几何本质去理解一个问题。如果说代数几何是用“代数的语言“来描述几何，那么微分拓扑就是用“光滑变换“来描述几何。

在数学史上，微分拓扑曾创造过无数神跡。比如当年约翰米尔诺仅仅因为发现了一个具有非標准微分结构的七维球面，就直接捧走了菲尔兹奖。这门学科天生就带著一种“看透空间本质”的高贵血统。

在数学界的鄙视链里，搞代数和拓扑的，向来觉得搞偏微分方程（pde）的是一群只会暴力算不等式的“蓝领工人”；而搞pde的，则觉得搞代数拓扑的是一群只会画大饼、解决不了实际物理演化问题的“空中楼阁”。

n-s方程作为pde领域的终极神兽，向来是“蓝领工人”们的自留地。但徐辰现在，偏偏要用最纯正的“贵族工具”去降维打击这头神兽。

不过，微分拓扑擅长处理静態结构，而n-s方程是动態演化。

所以，为了弥补这种先天的不兼容，他一开始就祭出了极其高阶的策略。

徐辰的想法极其疯狂：既然涡旋拉伸是一个“动態的过程”，那为什么不尝试把时间维度直接几何化

他试图用接触拓扑中的reeb流，將三维流体隨时间的演化，直接“冻结“成一个四维时空里的静態叶状结构。这个想法的灵感，其实来自於广义相对论中的“时空“概念。爱因斯坦当年就是通过把时间和空间统一成一个四维流形，才彻底改写了物理学的基础。徐辰现在要做的，就是把这个思想借鑑到流体力学里。

只要这个四维几何体能够被证明全局存在，那么极度狂暴的动力学演化问题，就完美转化为了一个可以被微分拓扑工具拿捏的静態拓扑问题！

这就像是在揉麵团。传统的偏微分方程（pde）方法，是站在三维空间里，试图去计算麵团里每一粒麵粉隨时间变化的运动轨跡，计算量大到足以让超级计算机直接冒黑烟。

而徐辰的四维几何化方法，则是直接把“麵团从头到尾被揉捏的整个时间过程”，连同三维空间一起，浇筑成了一整块巨大的“四维琥珀”！

他不去看里面麵粉是怎么动的，他只盯著这块四维琥珀內部的纹理（叶状结构），看看它在几何上是否完整、会不会出现拓扑意义上的撕裂。

“上世纪60年代，史蒂芬斯梅尔就是用『马蹄映射』这种拓扑学的揉麵团手法，硬生生砸开了混沌动力系统的大门。”徐辰拿起笔，开始在纸上构建一个新的框架，“前辈能做到的事，我没理由做不到。而且，我的工具比他当年用的更先进。”

首先，他引入了时间轴i=[0，t)，將其与流体的三维空间域做直积，构造出了一个四维时空流形x=xi。

在这个四维流形上，原本隨时间演化的速度场u，被他直接提升为一个四维的静態向量场v。而流体的运动轨跡，则被完美地编码为了x上的一个一维叶状结构。

“关键在於，”徐辰喃喃自语，“我需要在这个四维时空中，重新定义涡旋拉伸。如果我能把这个拉伸过程编码成四维流形上的几何性质，那么它就不再是一个『动態的噩梦』，而是一个『静態的拓扑不变量』。”

他继续写下去。

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