第516章 徐教授的第三节课 一（2/2）

“他的原话是：世界上没有什么东西，能比两条等长的平行线更加相似了。“

“注意，他说的是‘相似’，不是‘完全一样’。”徐辰用粉笔轻轻点了点黑板上的等号，“这个措辞很有意思。因为从数学哲学的角度看，相等从来不是一个绝对概念。它几乎总是依赖于你选择忽略什么。”

“或者说得更直白一点——所谓相等，很多时候不是‘没有差别’，而是‘差别不重要’。”

台下不少人眼神一动。

这句话，已经开始有点意思了。

尤其是那几个计算机学院学生，表情明显认真了起来。

因为这句话放在计算机里同样成立。

两个文件的哈希值一样，你就说它们“相等”；两个对象的内存地址一样，你说它们“相等”；两个神经网络在测试集上的输出分布几乎一致，你可能也会说它们“等价”。可这几种“相等”，显然不是一回事。

同样是程序员嘴里的“==”，在不同语言、不同类型系统、不同抽象层里，背后可能藏着完全不同的判断标准。

……

徐辰继续道：

“比如你们小时候学算术，会觉得‘1+1=2’是天经地义。”

“这当然没错。但数学有趣的地方就在于，天经地义这种事，一旦换个世界，往往就没那么天经地义了。”

他没有再重复之前讲加法课时已经用过的模二、布尔代数那套例子，而是换了个方向。

他在黑板上写下两行。

一个是几何中的两个三角形。

一个是群论里的两个群。

“在初等几何里，你们会问两个三角形相不相等。后来你们学得更细，就会发现，‘相等’至少可以拆成好几层：全等、相似、面积相等、周长相等。”

“同样是‘一样’，标准一变，结论就可能完全不同。1872年，年仅23岁的菲利克斯·克莱因提出了著名的‘爱尔兰根纲领’。他干了一件什么事呢？他宣称，几何学研究的本质，就是在某种特定的变换群下保持不变的性质！”

“换句话说，克莱因直接用‘什么样的等号’，重新定义了‘什么样的几何’！你在平移和旋转下相等的，那是欧氏几何；你在投影下相等的，那是射影几何！”

“再比如代数里，两个群阶数相同，不代表它们相等；两个群写法不同，也不代表它们不一样。真正重要的是，它们的运算结构能不能对上。这就是所谓的‘同构’。在代数学家的眼里，只要两个结构同构，哪怕它们一个是用来转魔方的，一个是用来解多项式的，它们也是同一个东西！”

……

他转过身，看向全班。

“所以，当我们写下a=ba=ba=b的时候，我们到底在说什么？”

教室里一下子静了。

这次的安静，不再是“这题不会”的空白，而是很多人真的开始顺着这个问题往里想。

徐辰满意地看了一眼台下的反应，随后在黑板上又写出一列符号：

=≡??～≈≡(odn)

“普通等号、恒等、同构、同伦等价、等价关系、近似相等、模同余……”

“数学家为什么发明了这么多种‘等号’？”

他用手比了个镜头对焦的动作。

“因为‘相等’从来不是单层的。它更像一组不同倍率的镜头。”

“你拿一副肉眼看，觉得两个东西差不多；换成显微镜，差别就出来了；再换一个研究目的，你可能又会说——算了，这些差别我不关心。”

“数学里的等号，本质上就是这种‘带目的性的忽略’。”

“你选择保留什么结构，忽略什么结构，这个选择本身，就决定了你在做哪一门数学。”

徐辰放下粉笔，顺手拿起桌上的水杯喝了口水，像是在给大家一点消化时间。

……